미적분 예제

$y = \arctan (x^{7})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{7})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${(x^{7})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{7 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 2.1.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{14}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{14}} (7 x^{6})$

단계 2.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.1

$7$ 와 $\frac{1}{1 + x^{14}}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{1 + x^{14}} x^{6}$

단계 2.3.2

$\frac{7}{1 + x^{14}}$ 와 $x^{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x^{6}}{1 + x^{14}}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7 x^{6}}{x^{14} + 1}$