미적분 예제

$y = \arctan (\cosh (5 x))$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \cosh (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cosh (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

단계 1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cosh (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\cosh (5 x)]$

단계 2

$f (x) = \cosh (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.2

$\cosh (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sinh (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (\sinh (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\sinh (5 x)$ 와 $\frac{1}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$5$ 와 $\frac{\sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)} \cdot 1$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \sinh (5 x)}{1 + \cosh^{2} (5 x)}$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 \sinh (5 x)}{\cosh^{2} (5 x) + 1}$