미적분 예제

$y = 6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{2}] + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{5} - 7 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 가 됩니다.

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$6 (x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.5

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x^{2}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 (2 x)) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.7

$2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) (2 x))$

단계 3.9

$4 x^{5} - 7 x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + 2 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + (2 (4 x^{5}) + 2 (- 7 x^{2})) x)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5}) x + 2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (20 x^{4})) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$6 (x^{4} x^{2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{4 + 2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.1.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 (x^{6} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.2

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$6 (20 \cdot x^{6}) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.3

$20$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$120 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 x^{6} + 6 (x^{1 + 2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$120 x^{6} + 6 (x^{3} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.5

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 14$ 이동하기

$120 x^{6} + 6 (- 14 \cdot x^{3}) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.6

$- 14$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.7

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{5} x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 (x^{1} x^{5})) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{1 + 5}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.10

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{6}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.11

$8$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

단계 4.5.12

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{2} x)$

단계 4.5.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 (x^{1} x^{2}))$

단계 4.5.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{1 + 2})$

단계 4.5.15

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{3})$

단계 4.5.16

$- 14$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} - 84 x^{3}$

단계 4.5.17

$120 x^{6}$ 를 $48 x^{6}$ 에 더합니다.

$168 x^{6} - 84 x^{3} - 84 x^{3}$

단계 4.5.18

$- 84 x^{3}$ 에서 $84 x^{3}$ 을 뺍니다.

$168 x^{6} - 168 x^{3}$