미적분 예제

$y = \sin (\sqrt{2 x})$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.3

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 10

$2^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

단계 11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 와 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$