미적분 예제

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

단계 1

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = x - \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 가 됩니다.

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 4

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.4

항을 묶습니다.

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단계 5.4.1

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.4.2

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.4.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

단계 5.4.5

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

단계 5.4.6

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

단계 5.4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

단계 5.4.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

단계 5.6

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$x \sec (x) \tan (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

단계 5.6.2

$- \tan^{2} (x) \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

단계 5.6.3

$1$ 을 곱합니다.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

단계 5.6.4

$- \sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

단계 5.6.5

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

단계 5.6.6

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

단계 5.6.7

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

단계 5.7

$1$ 와 $- \sec^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

단계 5.8

$- \sec^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

단계 5.9

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

단계 5.10

$- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

단계 5.11

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

단계 5.12

$- \tan^{2} (x)$ 에서 $\tan^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

단계 5.13

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

단계 5.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

단계 5.15

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$