미적분 예제

$y = \log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.2

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.2.2

$\log (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.10

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.11

$x^{\frac{1}{2}} \ln (10)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \ln (10))} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.13.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.13.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 x^{1} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 2.13.2

$2 x^{1} \ln (10)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = x^{e}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{e}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{e}]$

단계 3.1.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{e}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

단계 3.2

$n = e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) (e x^{e - 1})$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$e x^{e - 1} \sec^{2} (x^{e}) + \frac{1}{2 x \ln (10)}$