미적분 예제

$y = \log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$

단계 1

$\log (5)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ , $g (x) = 3 x^{2} - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\log (5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

$\frac{5}{2}$ 와 ${(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\log (5) (\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

단계 7.2

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $\log (5)$ 을 묶습니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 9

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 11

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 12

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \cdot 1)$

단계 14

식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$

단계 14.2

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 x - 2) \frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2}$