미적분 예제

$y = \sec (2 x) \tan^{2} (2 x)$

단계 1

$f (x) = \sec (2 x)$ , $g (x) = \tan^{2} (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 3

$\sec (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 4

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 4.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 5

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 7.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 7.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 7.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 7.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 8

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 8.2

$\sec (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 입니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 8.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9

지수를 더하여 $\tan^{2} (2 x)$ 에 $\tan (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.1

$\tan (2 x)$ 를 옮깁니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.2

$\tan (2 x)$ 에 $\tan^{2} (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.1

$\tan (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 2} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 10

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

단계 12.2

$\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$