미적분 예제

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\arctan (6 x + 3)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\arctan (6 x + 3)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 6 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

단계 2.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ 에 $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.6

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

단계 3.7.2

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

단계 3.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$