미적분 예제

$y = \ln (\sec (9 x) + \tan (9 x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (9 x) + \tan (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 3

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 3.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \cdot 9 + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 4.3.2

$\sec (9 x) \tan (9 x)$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \cdot (\sec (9 x) \tan (9 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

단계 5

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 5.2

$\tan (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{3})$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 5.3

$u_{3}$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \cdot 1))$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \cdot 9)$

단계 6.3.2

$\sec^{2} (9 x)$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \cdot \sec^{2} (9 x))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.3

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.3.2

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 와 $\sec (9 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.3.3

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 와 $\tan (9 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.4

$9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec^{2} (9 x)$

단계 7.4.2

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ 와 $\sec^{2} (9 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.6

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)$ 에서 $9 \sec (9 x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.6.1

$9 \sec (9 x) \tan (9 x)$ 에서 $9 \sec (9 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.6.2

$9 \sec^{2} (9 x)$ 에서 $9 \sec (9 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

단계 7.6.3

$9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))$ 에서 $9 \sec (9 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x) + \sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$