미적분 예제

$y = \ln (4 x^{2}) \cdot (- x^{3} - 4)$

단계 1

$f (x) = \ln (4 x^{2})$ , $g (x) = - x^{3} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{3} - 4] + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\ln (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\ln (4 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + 0) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 2.6

$- 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x^{2}} x$

단계 4.4.2

$x$ 와 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 4.4.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2 \cdot x}{x^{2}}$

단계 4.4.4

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 4.4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 4.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 4.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - x^{3} \frac{2}{x} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{3}}{x} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{2}}{1} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.2.2.5

$2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - (2 x^{2}) - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 \frac{2}{x}$

단계 5.2.4

$- 4$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{x}$

단계 5.2.5

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 8}{x}$

단계 5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{8}{x}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 x^{2} - 3 x^{2} \ln (4 x^{2}) - \frac{8}{x}$