미적분 예제

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 42 x^{2} + 11 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $- 42 x^{2} + 11 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 42 x^{2} + 11 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

단계 2.2

$- 42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 42 x^{2}$ 의 미분은 $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

단계 2.4

$2$ 에 $- 42$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

단계 2.5

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

단계 2.7

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

단계 3.2

$- 42 x^{2} + 11 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.1

$- 42 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

단계 3.2.2

$11 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

단계 3.2.3

$x (- 42 x) + x \cdot 11$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.3

$- 84 x + 11$ 에 $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.4

$- 84 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.5

$11$ 을 $- 1 (- 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.6

$- (84 x) - 1 (- 11)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.7

$- (84 x - 11)$ 을 $- 1 (84 x - 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

단계 3.8

$- 42 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

단계 3.9

$11$ 을 $- 1 (- 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

단계 3.10

$- (42 x) - 1 (- 11)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

단계 3.11

$- (42 x - 11)$ 을 $- 1 (42 x - 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

단계 3.13

수식을 다시 씁니다.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$