미적분 예제

$y = \ln (5 x^{3} - 6 x) - 9 x$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\ln (5 x^{3} - 6 x) - 9 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x^{3} - 6 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x^{3} - 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{3} - 6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $5 x^{3} - 6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{3} - 6 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.5

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) - 6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (5 (3 x^{2}) - 6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.7

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 2.8

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9 \cdot 1$

단계 3.3

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{3} - 6 x} (15 x^{2} - 6) - 9$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$(15 x^{2} - 6) \frac{1}{5 x^{3} - 6 x} - 9$