미적분 예제

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $10 x^{2 - 5 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $10 x^{2 - 5 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x^{2 - 5 x}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ 입니다.

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

단계 2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$10$ 와 $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

단계 2.2.2

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

단계 3

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$x^{2 - 5 x}$ 을 $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

단계 3.2

$2 - 5 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{2 - 5 x})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $(2 - 5 x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $(2 - 5 x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

단계 5

$e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ 와 $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

단계 6

$f (x) = 2 - 5 x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

단계 7

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

합의 법칙에 의해 $2 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

단계 8.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

단계 8.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 8.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 8.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

단계 8.6

식을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

단계 8.6.2

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3

항을 묶습니다.

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단계 9.3.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3.2

$- 5$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3.3

$x$ 와 $\frac{- 5}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3.4

$x$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

단계 9.3.5.2

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

단계 9.4

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.5

$\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ 에 $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6.2

$- 5$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5 \ln (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6.5

$- 5 \ln (x)$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.6.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.7

$\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ 와 $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.8

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

단계 9.9

조합합니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

단계 9.10

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2 - 5 x}$ 을 곱합니다.

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단계 9.10.1

$x$ 에 $x^{2 - 5 x}$ 을 곱합니다.

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단계 9.10.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

단계 9.10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

단계 9.10.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

단계 9.11

$(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

단계 9.12

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$