미적분 예제

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\arctan (5 x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\arctan (5 x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 2.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$5 x^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$5 (x^{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3.2.1.3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3.2.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 3.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ 에 $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$5$ 와 $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 와 $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

단계 3.6.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

단계 3.6.3

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

단계 4.2

$\arctan (5 x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

단계 4.4

$25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ 에서 $\arctan (5 x^{2})$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ 에서 $\arctan (5 x^{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

단계 4.4.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

단계 4.4.3

$\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ 에서 $\arctan (5 x^{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$