미적분 예제

$y = \ln (e^{5 x} + 6)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{5 x} + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{5 x} + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{5 x} + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{5 x} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 4.3.2

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [6])$

단계 4.4

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x} + 0)$

단계 4.5

분수를 통분합니다.

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단계 4.5.1

$5 e^{5 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x})$

단계 4.5.2

$5$ 와 $\frac{1}{e^{5 x} + 6}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{e^{5 x} + 6} e^{5 x}$

단계 4.5.3

$\frac{5}{e^{5 x} + 6}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 e^{5 x}}{e^{5 x} + 6}$