미적분 예제

y = ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})

$y = \ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})$

단계 1

f (x) = ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ ,

g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}

$g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를

$u$ 에 대해 미분하면

$\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

단계 2

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

단계 3

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

단계 4

$f (x) = 5 + e^{x}$ ,

$g (x) = 5 - e^{x}$ 일 때

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해

$5 + e^{x}$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 5.2

$5$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$5$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$5$ 입니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 5.3

$0$ 를

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 6

$a$ =

$e$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해

$5 - e^{x}$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.2

$5$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$5$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$5$ 입니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.3

$0$ 를

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.4

$- 1$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- e^{x}$ 의 미분은

$- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.5

곱합니다.

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단계 7.5.1

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + 1 (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.5.2

$5 + e^{x}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 8

$a$ =

$e$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 9

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ 에

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}$ 에서

$5 - e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 11.3.1.1

$- e^{x} e^{x}$ 를

$e^{x} e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x} + 0}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

단계 11.3.1.2

$5 e^{x} + 5 e^{x}$ 를

$0$ 에 더합니다.

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

단계 11.3.2

$5 e^{x}$ 를

$5 e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{10 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$