미적분 예제

$y = \frac{7}{4} \cdot \sqrt[6]{9 - 8 x^{16}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[6]{9 - 8 x^{16}}$ 을(를) ${(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{4} \cdot {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$

단계 1.2

$\frac{7}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{7}{4} \cdot {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}$ 의 미분은 $\frac{7}{4} \frac{d}{d x} [{(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$ 입니다.

$\frac{7}{4} \frac{d}{d x} [{(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ , $g (x) = 9 - 8 x^{16}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 - 8 x^{16}$ 로 바꿉니다.

$\frac{7}{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $9 - 8 x^{16}$ 로 바꿉니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 6.2

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6} {(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 7.2

$\frac{1}{6}$ 와 ${(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{4} (\frac{{(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(9 - 8 x^{16})}^{- \frac{5}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{7}{4} (\frac{1}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}])$

단계 7.4

$\frac{1}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ 에 $\frac{7}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{6 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}]$

단계 7.5

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [9 - 8 x^{16}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $9 - 8 x^{16}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$ 가 됩니다.

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}])$

단계 9

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}])$

단계 10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$ 에 더합니다.

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [- 8 x^{16}]$

단계 11

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{16}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{16}]$ 입니다.

$\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{16}])$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 8$ 와 $\frac{7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 \cdot 7}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 12.2

$- 8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{- 56}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 12.3

$- 56$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- 7)}{24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 13

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

$24 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- 7)}{8 (3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}})} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 \cdot - 7}{8 (3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}})} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{16}]$

단계 15

$n = 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} (16 x^{15})$

단계 16

분수를 통분합니다.

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단계 16.1

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 16 \frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

단계 16.2

$- 16$ 와 $\frac{7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16 \cdot 7}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

단계 16.3

$- 16$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{- 112}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}} x^{15}$

단계 16.4

$\frac{- 112}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$ 와 $x^{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 112 x^{15}}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$

단계 16.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{112 x^{15}}{3 {(9 - 8 x^{16})}^{\frac{5}{6}}}$