미적분 예제

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

단계 1

$f (x) = 9 x^{2} - 1$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$3 x - 1$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.11

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 2.12.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$54 x^{2}$ 에서 $27 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$27 x^{2} - 18 x + 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1

$27 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.2

$- 18 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.3

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.4

$3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.5

$3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

단계 3.5.2.4

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.5

$a = 3 x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.6

${(3 x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3$