미적분 예제

$y = \frac{- 8 e^{5 x}}{3 x - 2}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{5 x}}{3 x - 2}]$

단계 1.2

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{8 e^{5 x}}{3 x - 2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{3 x - 2}]$ 입니다.

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{3 x - 2}]$

단계 2

$f (x) = e^{5 x}$ , $g (x) = 3 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{(3 x - 2) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.3.2

$(3 x - 2) e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 8 \frac{5 \cdot ((3 x - 2) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.8

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - 3 e^{5 x}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9.3

$- 8$ 와 $\frac{5 (3 x - 2) e^{5 x} - 3 e^{5 x}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 (5 (3 x - 2) e^{5 x} - 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (5 (3 x - 2) e^{5 x} - 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 ((5 (3 x) + 5 \cdot - 2) e^{5 x} - 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 (5 (3 x) e^{5 x} + 5 \cdot - 2 e^{5 x} - 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 (5 (3 x) e^{5 x}) + 8 (5 \cdot - 2 e^{5 x}) + 8 (- 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 (15 x e^{5 x}) + 8 (5 \cdot - 2 e^{5 x}) + 8 (- 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$15$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{120 (x e^{5 x}) + 8 (5 \cdot - 2 e^{5 x}) + 8 (- 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.3

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{120 x e^{5 x} + 8 (- 10 e^{5 x}) + 8 (- 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$- 10$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{120 x e^{5 x} - 80 e^{5 x} + 8 (- 3 e^{5 x})}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$- 3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{120 x e^{5 x} - 80 e^{5 x} - 24 e^{5 x}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.2

$- 80 e^{5 x}$ 에서 $24 e^{5 x}$ 을 뺍니다.

$- \frac{120 x e^{5 x} - 104 e^{5 x}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.5

$120 x e^{5 x} - 104 e^{5 x}$ 에서 $8 e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$120 x e^{5 x}$ 에서 $8 e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{5 x} (15 x) - 104 e^{5 x}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.5.2

$- 104 e^{5 x}$ 에서 $8 e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{5 x} (15 x) + 8 e^{5 x} (- 13)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

단계 5.5.3

$8 e^{5 x} (15 x) + 8 e^{5 x} (- 13)$ 에서 $8 e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 e^{5 x} (15 x - 13)}{{(3 x - 2)}^{2}}$