미적분 예제

$y = e^{x^{2}} + x^{3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $e^{x^{2}} + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x) + 3 x^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$

단계 4.2

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 2 x e^{x^{2}}$