미적분 예제

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

단계 1

$f (x) = arccsc (x)$ , $g (x) = x^{4} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 1.2

$arccsc (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 입니다.

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

단계 2.4.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

단계 2.4.3

$- 4$ 와 $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

단계 2.4.4

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

단계 2.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

단계 3.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{4} + 1$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

단계 3.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.1.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

단계 3.1.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

단계 3.1.3.3

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

단계 3.1.4

$(x^{4} + 2) x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.1.4.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

단계 3.1.4.2

$x^{4} + 2$ 와 ${(x^{2})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

단계 3.1.4.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

단계 3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

단계 3.1.6

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

단계 3.1.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

단계 3.2

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

$(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

단계 3.3

$\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

단계 3.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

단계 3.4.2

$\sqrt{x^{4} + 2}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

단계 3.4.3

$\sqrt{x^{4} + 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

단계 3.4.4

$\sqrt{x^{4} + 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

단계 3.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

단계 3.4.7

${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ 을 $x^{4} + 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{4} + 2}$ 을(를) ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

단계 3.4.7.5

간단히 합니다.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$