미적분 예제

$y = \frac{9 x^{2} + 2}{x^{2} + 7}$

단계 1

$f (x) = 9 x^{2} + 2$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 2] - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.6.2

$x^{2} + 7$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.9

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.2

$18$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.4

$9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.1.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.2

$18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$18 x^{3}$ 에서 $18 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{126 x + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$126 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{126 x - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5.3

$126 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{122 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$