미적분 예제

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (\ln (2 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (\ln (2 x))$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\ln (2 x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

단계 2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\ln (2 x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

단계 3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4.2

$\ln (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{3}}$ 입니다.

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2 x}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{- 2}{2 x}$ 와 $\cos (\ln (2 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.2

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ 와 $\sin (\ln (2 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.4

분수를 통분합니다.

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단계 5.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4.2

$- 2$ 와 $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

단계 5.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 \cos (\ln (2 x))$ 와 $\sin (\ln (2 x))$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

단계 6.2

$\sin (\ln (2 x))$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

단계 6.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

단계 6.4

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (2 x)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

단계 6.5

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

단계 6.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$