미적분 예제

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

조합합니다.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.5

$- x \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.6

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.8

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.9

$- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.10

$- (x \ln (x) - x - 1)$ 을 $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$