미적분 예제

$y = \ln ({(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ , $g (x) = 5 x^{8} + 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x^{8} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 2.2

$n = \frac{9}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {u_{2}}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x^{8} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 6.2

$9$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 7

$\frac{9}{5}$ 와 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

단계 8

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5}$ 에 $\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.1

지수를 더하여 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ 에 ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.1.1

${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9}{5 ({(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5} + \frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{- 4 + 9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10.1.4

$- 4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10.1.5

$5$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 10.2

$5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $5 x^{8} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 12

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{8}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 입니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 13

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 14

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 15

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \cdot 1)$

단계 17

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7)$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9}{5 (5 x^{8}) + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

단계 18.2

항을 묶습니다.

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단계 18.2.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{25 x^{8} + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

단계 18.2.2

$7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$

단계 18.3

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{25 x^{8} + 35 x}$

단계 18.4

$25 x^{8} + 35 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.4.1

$25 x^{8}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 35 x}$

단계 18.4.2

$35 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)}$

단계 18.4.3

$5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

단계 18.5

$40 x^{7} + 7$ 에 $\frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(40 x^{7} + 7) \cdot 9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

단계 18.6

$40 x^{7} + 7$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{9 (40 x^{7} + 7)}{5 x (5 x^{7} + 7)}$