미적분 예제

$y = \frac{\ln (4 x)}{4 x}$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\ln (4 x)}{4 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$

단계 2

$f (x) = \ln (4 x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{4 x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.4.3

$\frac{d}{d x} [x]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$

단계 4.7.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \ln (4 x)}{4 x^{2}}$