미적분 예제

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = 3 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 와 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

단계 8

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.1

지수를 더하여 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 에 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.1.1

${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10.1.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 10.2

$2 {(3 - x)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $3 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 12

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 13

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

단계 16

분수를 통분합니다.

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단계 16.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

단계 16.2

$\frac{3}{2 (3 - x)}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

단계 16.3

식을 간단히 합니다.

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단계 16.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

단계 16.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$