미적분 예제

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x + 2)}^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x + 2)}^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

단계 2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$5$ 와 $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

${(x + 2)}^{4}$ 와 $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.2.2

${(x + 2)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.2.3

${(x + 2)}^{4}$ 및 ${(x + 2)}^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1

$5 {(x + 2)}^{4}$ 에서 ${(x + 2)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.2.1

${(x + 2)}^{5}$ 에서 ${(x + 2)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

단계 3.6.2

$\frac{5}{x + 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{x + 2}$