미적분 예제

$y = e^{a x} \sin (B x)$

단계 1

$f (x) = e^{a x}$ , $g (x) = \sin (B x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (B x)] + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = B x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $B x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $B x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (B x) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$B$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $B x$ 의 미분은 $B \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (B x) (B \frac{d}{d x} [x])) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (B x) (B \cdot 1)) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 3.3

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

단계 5.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} a)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$

단계 6.2

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$B e^{a x} \cos (B x) + a e^{a x} \sin (B x)$