미적분 예제

$y = e^{x \sqrt{5 x - 3}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x - 3}$ 을(를) ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 5 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x - 3$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x - 3$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.4

$\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

합의 법칙에 의해 $5 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15.2

$\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 5}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15.3

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 \cdot x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 17

${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

단계 18

공통 분모를 가지는 분수로 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 19

${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

지수를 더하여 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

${(5 x - 3)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + (5 x - 3) \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.2

$5 x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + 2 \cdot (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\frac{5 x + 2 (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x - 3))}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.1.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.2

$5 x$ 를 $10 x$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x) + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.5

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 \cdot e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.6

$15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4

$15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.4.1

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.2

$15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.3

$- 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.4

$3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)$ 에서 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x - 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$