미적분 예제

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 9})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x + 9}$ 을(를) ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \log_{5} (x)$ , $g (x) = {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\log_{5} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 5 x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 ${(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

단계 11

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 13.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 14.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

단계 16

합의 법칙에 의해 $5 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 17

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 18

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 19

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 20

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 + 0)$

단계 21

분수를 통분합니다.

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단계 21.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} \cdot 5$

단계 21.2

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{2 (5 x + 9) \ln (5)}$

단계 22

간단히 합니다.

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단계 22.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 9) \ln (5)}$

단계 22.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

단계 22.3

항을 묶습니다.

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단계 22.3.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

단계 22.3.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 18 \ln (5)}$