미적분 예제

$y = \log_{9} (e^{- x} \cos (π x))$

단계 1

$f (x) = \log_{9} (x)$ , $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{- x} \cos (π x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{9} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

단계 1.2

$\log_{9} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (9)}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{- x} \cos (π x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

단계 2

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = \cos (π x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 4.3

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 5.3

$u_{3}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

단계 6.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

단계 6.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$e^{- x}$ 와 $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2.2

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 와 $\sin (π x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2.3

$π$ 와 $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2.4

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

단계 7.2.5

$\cos (π x)$ 와 $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- e^{- x})$

단계 7.2.6

$\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

단계 7.2.7

$\cos (π x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

단계 7.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

단계 7.2.8

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

단계 7.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$

단계 7.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

분수를 나눕니다.

$- (\frac{π}{\ln (9)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (9)}$

단계 7.3.2

$\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ 을 $\tan (π x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{π}{\ln (9)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (9)}$

단계 7.3.3

$\frac{π}{\ln (9)}$ 와 $\tan (π x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$