미적분 예제

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

단계 1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

단계 2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

단계 3

$\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\sin (3 x) \cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

단계 4

$f (x) = \sin (3 x)$ , $g (x) = \cot (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 6

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 6.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

단계 7.3.2

$\cot (x) \cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

항을 다시 정렬합니다.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

단계 8.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

단계 8.2.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

단계 8.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

단계 8.2.4

$\sin (3 x)$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

단계 8.2.5

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 8.2.6

$3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.6.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

단계 8.2.6.2

$\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ 와 $\cos (3 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.2.7

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.3

$\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.4

$\sin (3 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.5

간단히 합니다.

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단계 8.3.5.1

$\sin (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.5.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.6

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.7

$\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.7.1

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.7.2

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.8

분수를 나눕니다.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 8.3.9

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

단계 8.3.10

$3 \cos (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$