미적분 예제

$y = \frac{\tan (2 x) - e^{x}}{3 x - 4}$

단계 1

$f (x) = \tan (2 x) - e^{x}$ , $g (x) = 3 x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 4) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) - e^{x}] - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\tan (2 x) - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 4.3.2

$\sec^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(3 x - 4) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + 0)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \cdot 3}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 6.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 (\tan (2 x) - e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x})$ 를 전개합니다.

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단계 7.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot 2 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 \cdot - 1 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.6

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) + 3 e^{x}}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.2.2

$4 e^{x}$ 를 $3 e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 7 e^{x} - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 e^{x} x + 7 e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$