미적분 예제

$y = \arcsin (\frac{3}{x^{2}})$

단계 1

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \frac{3}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{3}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

단계 1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{3}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 2.2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 2.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (- 2 x^{- 3})$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$- 2$ 와 $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

단계 2.4.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

단계 2.4.3

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

단계 2.4.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{3}{x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

단계 3.2.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{2 \cdot 2}}} x^{3}}$

단계 3.2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{4}}} x^{3}}$