미적분 예제

$y = \sqrt{e^{x} + 8}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e^{x} + 8}$ 을(를) ${(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = e^{x} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $e^{x} + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 7

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 8

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [8])$

단계 9

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

단계 9.2.2

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$