미적분 예제

$y = \arctan (\ln (5 x))$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \ln (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

단계 1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{5 x}$ 에 $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$5$ 와 $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

단계 3.5

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

단계 4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

단계 4.4

$x \ln^{2} (5 x) + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$x \ln^{2} (5 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

단계 4.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

단계 4.4.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

단계 4.4.4

$x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$