미적분 예제

$y = \arctan (\sqrt{5 x})$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x}$ 을(를) ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.3

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$5^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$5^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 10

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4

항을 묶습니다.

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단계 12.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2

${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.3

지수값을 계산합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.5

간단히 합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.6

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.7.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

단계 12.4.7.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

단계 12.4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 12.4.7.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 12.4.7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 12.4.7.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.6.1

$10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.6.1.1

$10 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.6.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

단계 12.6.1.3

$2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

단계 12.6.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{1} + 1)}$

단계 12.6.3

간단히 합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x + 1)}$