미적분 예제

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 3}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{x}{x + 3}}$ 을(를) ${(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{x}{x + 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{x + 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{x + 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

단계 8

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.2

$x + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.3

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.6

항을 간단히 합니다.

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단계 9.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.6.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 9.6.5

$\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{{(x + 3)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.6.6

${(x + 3)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3}{2 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x})}^{\frac{1}{2}}$

단계 10.2

$\frac{x + 3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3

항을 묶습니다.

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단계 10.3.1

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}}$ 에 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3

지수를 더하여 ${(x + 3)}^{2}$ 에 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.3.1

${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3}{2 ({(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.3.3.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3.3.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$