미적분 예제

$y = \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{x}{a}}$ 을(를) ${(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{x}{a}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.3

$\frac{1}{a}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{a}$ 의 미분은 $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.10

$\frac{1}{a}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.11

$\frac{1}{a}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{a \cdot 2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 2.12

$a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{a}{x}}$ 을(를) ${(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{a}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{a}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{a}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

단계 3.3

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{a}{x}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 3.5

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

단계 3.11

$a$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{a}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

단계 3.12

$\frac{a}{2}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a x^{- 2}}{2})$

단계 3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.2

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.3

$\frac{a}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.4

$\frac{x}{a}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

$\frac{1}{2 a}$ 에 $\frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 a x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $a^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 a x^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.3.1

$a^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3.2

$a^{- \frac{1}{2}}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.3.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

단계 4.5.4

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{a}{2 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{a^{\frac{1}{2}} (2 x^{2})}$

단계 4.5.5

$a^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{2 \cdot a^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.5.6

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

단계 4.5.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.7.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

단계 4.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

단계 4.5.7.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 4.5.7.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 4.5.7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

단계 4.5.7.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.7.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

단계 4.5.7.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.8

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $a^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.9

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.9.1

$a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.9.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.9.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.9.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.9.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$