미적분 예제

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- 2 \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \ln (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.5

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.8

$e^{- 2 \ln (x)}$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.9

$e^{- 2 \ln (x)}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.10

$x^{4}$ 와 $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ 을 묶습니다.

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.11.1

$x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.11.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11.2.4

수식을 다시 씁니다.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.11.2.5

$x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

단계 2.13

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 를 $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ 에 더합니다.

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단계 2.13.1

$e^{- 2 \ln (x)}$ 를 옮깁니다.

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

단계 2.13.2

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 를 $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 에 더합니다.

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

단계 3.2

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$