미적분 예제

$y = x^{3} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 \cos (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{3} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 8 x \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x \sin (x)$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 3.5

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 \cos (x)$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 4.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) - 8 (- \sin (x))$

단계 4.3

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \sin (x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 (x \cos (x)) - 8 \sin (x) + 8 \sin (x)$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 8 \sin (x)$ 를 $8 \sin (x)$ 에 더합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x) + 0$

단계 5.2.2

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}) - 8 x \cos (x)$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- x^{3} \sin (x) + 3 x^{2} \cos (x) - 8 x \cos (x)$