미적분 예제

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 1

$f (x) = x \sin (x)$ , $g (x) = 1 + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 6

곱합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 6.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 11.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.1.1.2.1

$x \cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2.3

$\cos (x) (x \cos (x))$ 을 곱합니다.

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단계 11.1.1.2.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.1.2.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.2

$x \sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.3

$x \cos^{2} (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.4

$x \sin^{2} (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.5

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.6

항을 다시 배열합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.1.8

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 11.3.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.3.2

최대공약수 $x + \sin (x)$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.4

$\cos (x) + 1$ 및 ${(1 + \cos (x))}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.4.2

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ 에서 $1 + \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11.4.3

공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.3.1

${(1 + \cos (x))}^{2}$ 에서 $1 + \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 11.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 11.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$