미적분 예제

$y = x e^{3 x - 1}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}] + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$x (e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x (e^{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x (e^{3 x - 1} (3 + 0)) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (e^{3 x - 1} \cdot 3) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.2

$e^{3 x - 1}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x (3 \cdot e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \cdot 1$

단계 3.8

$e^{3 x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$

단계 4.2

$3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x e^{3 x - 1} + e^{3 x - 1}$