미적분 예제

$y = 10 e^{\sqrt{x}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [10 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$10 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 10

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10}{2}$ 와 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$\frac{10 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 12.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{10 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14

공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$