미적분 예제

$y = x^{2} (6 - x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 6 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.6.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.6.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} + (6 - x) (2 x)$

단계 2.8

$6 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- x^{2} + 2 \cdot (6 - x) x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + (2 \cdot 6 + 2 (- x)) x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 2 \cdot 6 x + 2 (- x) x$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 12 x + 2 (- x) x$

단계 3.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x$

단계 3.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)$

단계 3.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})$

단계 3.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}$

단계 3.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}$

단계 3.3.7

$- x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 12 x$