미적분 예제

$y = \sqrt{x} \ln (x)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 13

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$