미적분 예제

$y = \sqrt{3 x + 5} {(8 x - 3)}^{4}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 x + 5}$ 을(를) ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{4}]$

단계 2

$f (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = {(8 x - 3)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{4}] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 8 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $8 x - 3$ 로 바꿉니다.

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $8 x - 3$ 로 바꿉니다.

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $8 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.3

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.5

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.7.2

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 3 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x + 5$ 로 바꿉니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x + 5$ 로 바꿉니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 10

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

단계 10.4

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(8 x - 3)}^{4}$ 을 묶습니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $3 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 12

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 14

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 15

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

단계 16

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

단계 16.2

$\frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4} \cdot 3}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.3

${(8 x - 3)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{3 \cdot {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot \frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ 와 $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

지수를 더하여 ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{64 ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

$64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{64 (3 x + 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(64 (3 x) + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1

$(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}$ 에서 ${(8 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1.1

$(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3}$ 에서 ${(8 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.1.2

$3 {(8 x - 3)}^{4}$ 에서 ${(8 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.1.3

${(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))$ 에서 ${(8 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.2

$64$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.3

$64$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.5

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.6

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.7

$192 x$ 를 $24 x$ 에 더합니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 320 - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.8

$320$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 311)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$