미적분 예제

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

단계 1

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} - 4 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.8

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.9

$- 2 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.12

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2.13.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 3) (- 2 x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.5

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$- 4 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.1.5

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.2

$- 2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 10 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 12$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ 이고 합이 $b = - 6$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.1.1

$- 6 x$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$- 6$ 를 $- 1$ + $- 5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.6

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.7

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$